Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，且a₃，a₆，a₁₅分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n+a_n}的前n项和T_n的值．

Answer 1

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由已知a₃，a₆，a₁₅分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项，可求出数列{a_n}、{b_n}的公差和公比，进而得到数列{a_n}、{b_n}的通项公式
（II）根据已知中数列{a_n}、{b_n}的通项公式，利用拆项法，结合等差数列和等比数列的前n项和公式，可得答案．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d
∵a₃，a₆，a₁₅分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项
∴a62=a3a15⇒(1+5d)2=(1+2d)(1+15d)⇒d=-2，
又∵a₁=1
∴a_n=-2n+3
又∵b₂=-3，b₃=-9，∴q=3，
∴bn=-3n-1
（2）bn+an=-3n-1+3-2n，
T_n=（-1+1）+（-3-1）+（-9-3）+…+（-3^n-1+3-2n）
=-（1+3+9+…+3^n-1）+（1-1-3-…+3-2n）
=-

1-3n

1-3

+n+

n(n-1)

2

×(-2)
=

1

2

(1+4n-2n2-3n)
∴Tn=

1

2

(1+4n-2n2-3n)

点评：本题考查的知识点是等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，熟练掌握数列的基本公式是解答的关键．