Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率k_ON；
（2）设M椭圆C上任意一点，且，求λ+μ的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆的焦距为2c，因为，所以有，故有a²=3b²．椭圆C的方程可化为：x²+3y²=3b²，右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为：再结合韦达定理能够求出斜率k_ON．
（2）与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等式成立．由此入手能够求出λ+μ的最大值和最小值．
解答：解：（1）设椭圆的焦距为2c，因为，所以有，故有a²=3b²．
从而椭圆C的方程可化为：x²+3y²=3b²①
易知右焦点F的坐标为（），
据题意有AB所在的直线方程为：②
由①，②有：③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x，y），由③及韦达定理有：．
所以，即为所求．
（2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等式成立．设M（x，y），由1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），所以x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又点在椭圆C上，所以有（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²整理为λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：．所以⑤
又A﹑B在椭圆上，故有（x₁²+3y₁²）=3b²，（x₂²+3y₂²）=3b²⑥
将⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1.，故有
所以，
点评：本题考查直线 和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．