Question

已知关于x的不等式：

ax-2

x-1

＞1
（Ⅰ）若a=3，解该不等式；
（Ⅱ）若a＞0，解该不等式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=3时，原不等式即：

3x-2

x-1

＞1，即

2x-1

x-1

＞0，由此解得x的范围．
（Ⅱ）当a＞0时，原不等式可化为（x-

1

a-1

 ）•（x-1）＞0．当a=1时，易求其解集；当a＞1时，根据

1

a-1

大于1、
等于1、小于1三种情况，分别求出原不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）当a=3时，原不等式即：

3x-2

x-1

＞1，即

2x-1

x-1

＞0，
即（2x-1）（x-1）＞0，解得 x＜

1

2

或x＞1． 故解集为{ x|x＜

1

2

或x＞1}． …（4分）
（Ⅱ）当a＞0时，原不等式可化为：

(a-1)x-1

x-1

＞0，
（1）若a=1时，原不等式即

1

x-1

＜0，不等式的解集为{x|x＜1}． …（5分）
（2）若a＞1时，原不等式可化为

x- 1 a-1

x-1

＞0，即 （x-

1

a-1

 ）（x-1）＞0，
    故①当1＜a＜2时，有

1

a-1

＞1，原不等式的解集为{x|x＜1或x＞

1

a-1

}．
    ②当a=2时，原不等式即

x-1

x-1

＞0，不等式的解集为{x|x≠1}．
    ③当a＞2时，

1

a-1

＜1，原不等式的解集为{x|x＜

1

a-1

或x＞1}．…（10分）
（3）当1＞a＞0时，原不等式

(a-1)x-1

x-1

＞0可化为

x- 1 a-1

x-1

＜0，
即 （x-

1

a-1

 ）（x-1）＜0，由于

1

a-1

＜1，
故原不等式的解集为 {x|1＞x＞

1

a-1

}．

点评：本题主要考查分式不等式，体现分类讨论与转化的数学思想，注意分类的层次，属于中档题．