Question

【题目】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ， 满足a =2Sn+n+4，且a2﹣1，a3 ， a7恰为等比数列{bn}的前3项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn= ﹣ ，求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a22=2S1+1+4=2a1+5，

当n＞1时，an+12=2Sn+n+4，①

可得an2=2Sn﹣1+n﹣1+4，②

①﹣②可得，an+12﹣an2=2an+1，

即有an+12=（an+1）2，

数列{an}的各项均为正数，

可得an+1﹣an=1，即公差d=1，

由a2﹣1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项，

可得a32=（a2﹣1）a7，

即为（a2+1）2=（a2﹣1）（a2+5），解得a2=3，

则an=a2+n﹣2=n+1；b1=a2﹣1=2，公比q= = =2，

则bn=b1qn﹣1=2n

（2）解：cn= ﹣ = ﹣ = ﹣（ ﹣ ），

前n项和Tn=（1 +2 +…+n（ ）n）﹣（ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ），

由Fn=1 +2 +…+n（ ）n，

Fn=1 +2 +…+n（ ）n+1，

两式相减可得， Fn= + + +…+（ ）n﹣n（ ）n+1

= ﹣﹣n（ ）n+1

化简可得，Fn=2﹣ ，

则Tn=2﹣ ﹣（ ﹣ ）= ﹣ +

【解析】（1）将n换为n﹣1，两式相减，可得an+1﹣an=1，即公差d=1，再由等比数列的性质和等差数列的通项公式，解方程可得a2=3，再由等差数列的通项公式可得通项；再由等比数列的定义和通项公式可得所求；（2）求得cn= ﹣ = ﹣ = ﹣（ ﹣ ），分别运用数列的求和方法：错位相减法和裂项相消求和，计算即可得到所求和．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．