Question

（本小题满分14分）
设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且．
（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）若，是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）（解法一），故为的中点．  -------1分
设，由点在轴的负半轴上，则  -------2分
又，        -------4分
又，         -------6分
所以，点的轨迹的方程为     -------7分
（解法二），故为的中点．  -------1分
设，由点在轴的负半轴上，则  -------2分
又由，故，可得  -------4分
由，则有，化简得：   -------6分
所以，点的轨迹的方程为                -------7分
（2）设的中点为，垂直于轴的直线方程为，
以为直径的圆交于两点，的中点为．
，
  -------9分

            -------12分
所以，令，则对任意满足条件的，
都有（与无关），-------13分即为定值．  -------14分

略