题目内容

已知函数f(x)=
x3
3
+
1
2
ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则
b-2
a-1
的取值范围是（　　）
分析：先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，而
b-2
a-1
可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．
解答：解：∵函数 f(x)=
x3
3
+
1
2
ax2+2bx+c
∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，
∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内
∴
f′(0)＞0
f′(2)＞0
f′(1)＜0
⇒
b＞0
a+b+2＞0
a+2b+1＜0

画出区域如图，
而
b-2
a-1
可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，
M，N两个点为边界处的点，
当连线过M（-3，1）时，kPM=
2-1
1+3
=
1
4
，
当连线过N（-1，0）时，kPN=
2-0
1+1
=1，
由图知
b-2
a-1
∈(
1
4
，1)．
故选C．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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