题目内容

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且C=
π
3
，a+b=λc，（其中λ＞1）．
（Ⅰ）若c=λ=2时，求
AC
•
BC
的值；
（Ⅱ）若
AC
•
BC
=
1
6
（λ4+3）时，求边长c的最小值及判定此时△ABC的形状．
（Ⅰ）∵a+b=λc由正弦定理得：sinA+sinB=λsinC，
又∵λ=2，C=
π
3
?sinB+sin(
2π
3
-B)=
3
?sin(B+
π
6
)=1，
∴B=
π
3
，根据c=2，得到△ABC为边长为2的等边三角形，
∴
AC
•
BC
=abcosC=2；
（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，
由
AC
•
BC
=
1
6
(λ4+3)?ab=
1
3
(λ4+3)，又a+b=λc，
∴c2=λ2c2-(λ4+3)?c2=
λ4+3
λ2-1
=(λ2-1)+
4
λ2-1
+2≥6
∴cmin=
6
当且仅当λ=
3
时取等号．此时c=
6
，ab=4，a+b=3
2
，
∴
a=
2
b=2
2
c=
6
或
a=2
2
b=
2
c=
6
，
∴△ABC为直角三角形．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（　　）
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2
在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面积为10
3
cm2，周长为20cm，求此三角形的各边长．
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面积S=
3
3
2
，求边c的值．
在△ABC中，A，B，C为三个内角，若cotA•cotB＞1，则△ABC是（　　）
已知y=f（x）函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的：
①将y=sinx的图象整体向左平移
π
6
个单位；
②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
1
2
；
③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．
（1）求f（x）的周期和对称轴；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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