Question

已知f（x）=ax-x³（x∈R）在区间(0， 

2

2

]内是增函数．
（Ⅰ） 求a的取值范围；
（Ⅱ） 若f（x）的极小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，当x∈(0， 

2

2

]时，f'（x）≥0，即a-3x²≥0成立，从而可求a的范围；
（Ⅱ）令f'（x）=0，即a-3x²=0，得x=±

a 3

．由（Ⅰ）知，a≥

3

2

．再进行分类讨论，确定当x=-

a 3

时，f（x）取极小值．从而得解．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=a-3x²，（1分）
依题意，当x∈(0， 

2

2

]时，f'（x）≥0，即a-3x²≥0成立，（3分）
∴a≥3×(

2

2

)2=

3

2

，故所求a的范围是[

3

2

，+∞)．（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，即a-3x²=0，得x=±

a 3

．由（Ⅰ）知，a≥

3

2

．
当x＜

a 3

时，f'（x）＞0；当x＞

a 3

时，f'（x）＜0．
所以，当x=

a 3

时，f（x）取极大值．
当x＜-

a 3

时，f'（x）＜0； 当x＞-

a 3

时，f'（x）＞0．
所以，当x=-

a 3

时，f（x）取极小值．（10分）
于是，f(-

a 3

)=-2，即a(-

a 3

)-(-

a 3

)3=-2，解得a=3．   （12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值，由于含有参数，故应进行分类讨论．