Question

17．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠BAF=$\frac{5π}{12}$，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根据对称性得出四边形AF₂BF₁为矩形，运用矩形的几何性质，得出AF+AF′=2c（cos$\frac{5π}{12}$+sin$\frac{5π}{12}$）=2$\sqrt{2}$csin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{6}$c=2a，即可求解离心率．

解答 解：设椭圆的左焦点为F′，A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
∵AF⊥BF，∠BAF=$\frac{5π}{12}$，∴∠AF′F=$\frac{5π}{12}$，
∴根据椭圆的对称性可知：四边形AF′BF为矩形，
∴AF+AF′=2c（cos$\frac{5π}{12}$+sin$\frac{5π}{12}$）=2$\sqrt{2}$csin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{6}$c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$、
故选：B．

点评 本题考查椭圆的几何性质，定义，矩形的几何性质，运用三角函数知识数学解决、问题，属于中档题．