Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²+2x，g（x）=lnx．
（1）求函数y=xg（x）-2x的单调增区间．
（2）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函数y=xg（x）-2x的导数，再让导数大于0，解出x的范围即为函数的单调增区间．
（2）如果函数y=f（x）是二次函数，在[1，+∞）上是单调增函数，则函数图象开口向上，且[1，+∞）在对称轴右侧，再看A在哪个范围内符合条件即可．
（3）先假设存在实数a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的实数根．
根据假设，转化为函数在区间（

1

e

，e）内有且只有两个零点，再利用导数判断即可．

解答：解：（1）∵y^′=lnx-1
令y^′＞0，则x＞e
∴函数y=xg（x）-2x的单调增区间为（e，+∞）
（2）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是增函数，
当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-

2

a

由于y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴-

2

a

≤1，解得a≤-2或a＞0，∴a＞0
当a＜0时，不符合题意，
综上，a的取值范围为a≥0
（3）方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）可化简为

lnx

x

=ax+2-（2a+1）
即为方程ax²+（1-2a）x-lnx=0．
设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，（x＞0）
原方程在区间（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的实数根，即函数H（x）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个零点．
H^′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2a+1) (x-1)

x

令H^′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-

1

2a

（舍）
当x∈（0，1）时，H^′（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H^′（x）＞0，，H（x）是增函数．，
H（x）在（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的零点，只需
 

H( 1 e )＞ 0 H(x)min＜0 H(e)＞0

即1＜a＜

e2+e

2e-1

点评：本题考查了利用导数求函数单调区间以及零点，做题时要认真．