Question

已知函数f（x）=a^x+log_a（x-1）（其中a＞0且a≠1）．
（1）若a=

1

4

，求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（2）若f（x）在x∈[2，3]上的最小值为4，求a的值．

Answer 1

解（1）∵a=

1

4

＜1，
∴f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[1，2]上为减函数．…（3分）
∴f（x）在x∈[1，2]上的x=2取最小值     …（5分）
最小值为f（2）=(

1

4

)2+log

1

4

(2-1)=

1

16

…（7分）
（2）如果0＜a＜1，则f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上为减函数，
∴f（x）在x∈[2，3]上的最小值为f（3）=a³+log_a2=4，又a³＜1，log_a2＜0，
∴f（3）=4无解．…（10分）
如果a＞1，则f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上为增函数，
∴f（x）在x∈[2，3]上的最小值为f（2）=a²+log_a1=4，
∴a=2．
综合得a的值为2．…（14分）