Question

已知函数f(x)=(1+

1

tanx

)sin2x-2sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
（1）求f（x）的最小正周期和单调区间；
（2）若x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式以及耳机的三角函数、两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的周期求f（x）的最小正周期和通过正弦函数的单调区间求解函数的单调区间；
（2）通过x∈[

π

12

，

π

2

]，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解求f（x）的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=(1+

1

tanx

)sin2x-2sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
=(

sinx+cosx

sinx

)sin2x-2(

2

2

sinx+

2

2

cosx)(

2

2

sinx-

2

2

cosx)
=sin²x+sinxcosx-（sin²x-cos²x）
=sinxcosx+cos²x
=

1

2

sin2x+

1

2

（cos2x+1）
=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

．
函数的极限为：f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，
最小正周期T=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．
同理可得f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

的单调递减区间为[

π

8

+kπ，

5

8

π+kπ](k∈Z)
（2）∴x∈[

π

12

，

π

2

]，∴

5π

12

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
∴0≤f(x)≤

1

2

+

2

2

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数二倍角公式以及正弦函数的性质的应用，考查计算能力．