Question

（1）已知f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的取值范围；
（2）已知m∈R，解关于x的不等式1-x≤|x-m|≤1+x．

Answer 1

分析：（1）先分离出含有a，b的式子，即|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立，问题转化为求左式的最小值即可．
（2）通过对m讨论，然后求解不等式即可．

解答：解：（1）由题知，|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立，
故|x-1|+|x-2|不大于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值
∵|a+b|+||a-b≥|a+b+a-b|=|a|，
当且仅当（a+b）（a-b）≥0时取等号，∴

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值等于2．
∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
解不等式得x∈[

1

2

，

5

2

]．
（2）当m＜-1时，解集为Φ；
当-1≤m＜1时，1-x≤|x-m|≤1+x，可得x≥-1，所以不等式化为：（1-x）²≤（x-m）²≤（1+x）²，解集为[

m+1

2

，+∞)；当m≥1时，1-x≤|x-m|≤1+x，可得x≥-1，所以不等式化为：（1-x）²≤（x-m）²≤（1+x）²，解集为[

m-1

2

，+∞)；

点评：本题主要考查了不等式的恒成立问题，通常采用分离参数的方法解决，考查绝对值不等式的解法，考查计算能力．