Question

已知函数f（x）=log_a（x+b）（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，2），B（-1，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=（）^2x-（）^x-1，x∈[0，+∞），求g（x）的值域．

Answer 1

解：（1）把A（1，2），B（-1，1）．代入f（x）=log_a（x+b）得．
结合a＞0，a≠1，解得a=2，b=3，故f（x）=log₂（x+3）．
（2）由（1）知a=2，b=3，∴．
令，0＜t≤1，∴，
当时g（t）取最小值；当t=1时，g（t）取最大值-1．
因此g（t）的值域为．
分析：（1）把A（1，2），B（-1，1）．代入函数f（x）=log_a（x+b），解得a和b的值，即可求得函数f（x）的解析式．
（2）由（1）知．令，0＜t≤1，可得，再利用二次函数的性质
求得g（t）的最值，即可得到它的值域．
点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，对数函数的退昂和性质的综合应用，利用二次函数的性质求函数的最值，属于中档题．