Question

 

已知函数f （x）=ax³+bx²－3x在x=±1处取得极值．

   （Ⅰ）求函数f （x）的解析式；

　 （Ⅱ）求证：对于区间[－3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，对于任意一个正实数a都有|f （x₁）－f （x₂）|≤；

   （Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）f′（x）=3ax²+2bx－3，

依题意，f′（1）=f′（－1）=0，

即…………………………………………1分

解得a=1，b=0．

∴f （x）=xx．……………………………………………………3分

   （II）∵f（x）=xx,∴f′（x）=3x=3（x+1）（x－1），

利用导数求得f（x）在区间[－3，2]上的最大值和最小值分别为：

f_max（x）=f（－1）=f（2）=2，

f_min（x）=f（-3）=－18………………………………4分

∵对于区间[－3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，

都有|f（x₁）－f（x₂）|≤|f_max（x） －f_min（x）|

|f（x₁）－f（x₂）|≤|f_max（x）－f_min（x）|=2－（－18）=20……………………6分

由条件可得，，

当且仅当时，等号成立，即恒成立，

∴对于任意一个正实数a都有|f （x₁）－f （x₂）|≤．………8分

   （III）f′（x）=3x=3（x+1）（x－1），

∵曲线方程为y=xx，∴点A（1，m）不在曲线上．

设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足

因，

故切线的斜率为，

整理得．

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x₀方程=0有三个实根．……………………10分

设g（x­₀）= ，

则g′（x₀）=6，

由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀­=1．

∴g（x₀）在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

∴函数g（x₀）= 的极值点为x₀=0，x₀=1………………12分

∴关于x₀方程=0有三个实根的充要条件是

，解得－3<m<－2．

故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2．……………………15分