Question

已知函数和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．
（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M、N与A（0，1）三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内总存在m+1个实数a₁，a₂，…，a_m，a _m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a _m+1）成立，求m的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，
∵，
∴切线PM的方程为：，
又∵切线PM过点P（1，0），
∴有，即x₁²+2tx₁﹣t=0，（1）
同理，由切线PN也过点P（1，0），得x₂²+2tx₂﹣t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx﹣t=0的两根，
∴（*）
=，把（*）式代入，得，
因此，函数g（t）的表达式为．
（Ⅱ）当点M、N与A共线时，k_MA=k_NA，
∴=，即=，
化简，得（x₂﹣x₁）[t（x₂+x₁）﹣x₁x₂]=0
∵x₁≠x₂，
∴t（x₂+x₁）=x₂x₁．（3）
把（*）式代入（3），解得．
∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且．
（Ⅲ）知g（t）在区间上为增函数，
∴（i=1，2,...，m+1），则．依题意，不等式对一切的正整数n恒成立，，即对一切的正整数n恒成立．
∵，
∴，
∴．由于m为正整数，∴m≤6．
又当m=6时，存在a₁=a₂═a_m=2，a _m+1=16，对所有的n满足条件．
因此，m的最大值为6．