Question

14．设两向量e₁、e₂满足|${\overrightarrow{e}}_{1}$|=2，|${\overrightarrow{e}}_{2}$|=1，${\overrightarrow{e}}_{1}$、${\overrightarrow{e}}_{2}$的夹角为60°，若向量2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$与向量${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$的夹角为[0，$\frac{π}{2}$），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 两向量e₁、e₂满足|${\overrightarrow{e}}_{1}$|=2，|${\overrightarrow{e}}_{2}$|=1，${\overrightarrow{e}}_{1}$、${\overrightarrow{e}}_{2}$的夹角为60°，不妨设$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$（1，\sqrt{3}）$，可得2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$，${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$，由于向量2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$与向量${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$的夹角为[0，$\frac{π}{2}$），可得（2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$）（${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$）=（2t+7）（t+1）+21t＞0，解出即可得出．

解答 解：∵两向量e₁、e₂满足|${\overrightarrow{e}}_{1}$|=2，|${\overrightarrow{e}}_{2}$|=1，${\overrightarrow{e}}_{1}$、${\overrightarrow{e}}_{2}$的夹角为60°，
不妨设$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$（1，\sqrt{3}）$，
则2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$=（2t+7，7$\sqrt{3}$），${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$=$（t+1，t\sqrt{3}）$．
∵向量2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$与向量${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$的夹角为[0，$\frac{π}{2}$），
∴向量（2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$）（${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$）=（2t+7）（t+1）+21t＞0，
化为2t²+30t+7＞0，
解得t＞$\frac{-15+\sqrt{211}}{2}$或t＜$\frac{-15-\sqrt{211}}{2}$．
∴实数t的取值范围是t＞$\frac{-15+\sqrt{211}}{2}$或t＜$\frac{-15-\sqrt{211}}{2}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．