Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意设：抛物线方程为y²=2px，其准线方程为x=-

p

2

，根据抛物线的大于可得：4+

p

2

=6  ，进而得到答案．（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得  k²x²-（4k+8）x+4=0，根据题意可得△=64（k+1）＞0即k＞-1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y²=2px，其准线方程为x=-

p

2

，
∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴4+

p

2

=6  ∴p=4
∴抛物线C的方程为y²=8x
（Ⅱ）由

y2=8x y=kx-2

消去y，得  k²x²-（4k+8）x+4=0
∵直线y=kx-2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞-1且k≠0，
又

x1+x2

2

=

2k+4

k2

=2，
解得   k=2，或k=-1（舍去）
∴k的值为2．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系．