Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）++1，a>0。
（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为2，求实数a 的取值范围。

Answer 1

解：（1）
由已知
解得a=1。
（2）
∵x≥0，a>0，
∴ax+1>0
①a≥2时，在区间[0，+∞）上f'（x）≥0恒成立（仅a=2时f'（0）=0），
∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
此时f（x）_min= f（0）=2，符合题意；
②0＜a＜2时，由f'（x）>0得
由f'（x）＜0 得
∴f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴ ，不符合题意
综上可知，若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为2，则a的取值范围是[2，+∞）。