Question

过点P(2，1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A、B两点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.

Answer 1

解:设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0).

∵P(2，1)在直线l上，∴＋＝1.

于是·≤()²＝，

当且仅当＝＝时上式等号成立，

即a=4，b=2时，·最大.

∴S_△AOB的最小值为ab＝4.

此时直线l的方程为＋＝1.

∴当△AOB的面积最小时，直线l的方程为＋＝1,?即x＋2y－4=0.

点评:(1)求直线l与坐标轴围成的三角形的面积的问题时，常把直线l的方程设成截距式＋=1，这样三角形的面积就是|ab|.此例中，根据两正数、的和是常数的特点，利用基本不等式，求得了积的最大值，也就是面积的最小值，再由取得最值的条件得出a、b的值，进而求得l的方程.

(2)本题还可设l的方程为y－1=k(x－2)(k＜0).