Question

已知函数f（x）=ax³+bx²（x∈R）图象过点P（-1，2），且在点P处的切线恰好与x-3y=0垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g(x)=mx3+

1

3

f′(x)-3x在（2，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）本题的解析式中有两个参数，故需要两个方程，由图象过定点P可以得到一个方程，另一个由点P处的切线与直线x-3y=0垂直可以得到切线的斜率，得到另一个方程，由此两方程联立即可得到两个参数的值．
（Ⅱ）求解本题中的参数取值范围需要先求出g（x）的解析式，然后求出其导数，由于函数在（2，+∞）上是减函数，故在这个区间上导数值应小于等于0，由此关系得到参数a的不等式，解之即得．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx，…（2分）由题意有

f(-1)=-a+b=2 f′(-1)=3a-2b=-3

∴

a=1 b=3

∴f（x）=x³+3x²．（5分）
（Ⅱ）g(x)=mx3+

1

3

(3x2+6x)-3x=mx3+x2-x，因为g'（x）=3mx²+2x-1，依题意对x∈（2，+∞），g'（x）≤0恒成立，即3m≤

1-2x

x2

在x∈（2，+∞）恒成立，…（7分）
令h(x)=

1-2x

x2

，求得h(x)＞-

3

4

…（9分）所以3m≤-

3

4

，故m∈(-∞，-

1

4

]…（12分）

点评：本题的考点是函数的解析式求解方法及函数的单调性与导数的关系，用导数研究函数的单调性是一个重要的方法，导数的引入给函数单调性的研究带来了极大的便利，学习时要注意导数在函数中的使用方法及规律．