Question

若点G为△ABC的重心（三角形三边上中线的交点）且AG⊥BG，则cos（A+B）的最大值为

-

4

5

．

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，由AD⊥BE，得到△ABG，△BDG，△EDG，△AGE都为直角三角形，设AB=c，BC=a，AC=b，根据D、E分别为BC、AC的中点，分别表示出BC，AE，DE，利用勾股定理列出四个关系式，变形后得到c²=

1

5

（a²+b²），利用余弦定理表示出cosC，将关系式代入并利用基本不等式求出cosC的最小值，即可确定出cos（A+B）的最大值．

解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示，
∵AD⊥BE，∴△ABG，△BDG，△EDG，△AGE都为直角三角形，
设AB=c，BC=a，AC=b，
∵D、E分别为BC、AC的中点，
∴BC=

1

2

a，AE=

1

2

b，DE=

1

2

c，
根据勾股定理得：AG²+BG²=c²①，GD²+GE²=

1

4

c²②，
AG²+GE²=

1

4

b²③，BG²+DG²=

1

4

a²④，
（①+②）-（③+④）得：

5

4

c²=

1

4

（a²+b²），即c²=

1

5

（a²+b²），
在△ABC中，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

5

•

a2+b2

ab

≥

4

5

，
当且仅当a=b时，cosC最小值为

4

5

，
∵cos（A+B）=-cosC，
∴cos（A+B）的最大值为-

4

5

．
故答案为：-

4

5

点评：此题考查了勾股定理，余弦定理，基本不等式的运用，三角形的重心，以及诱导公式，熟练掌握重心的性质是解本题的关键．