Question

已知函数f(x)=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为 sin（2x-

π

6

）-1，从而求得函数的最小正周期，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可求得函数的单调增区间．
（2）由 x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得 2x-

π

6

的范围，求出sin（2x-

π

6

）的范围，从而求得函数在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，故函数的最小正周期为

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，故函数的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（2）由 x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得 2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

3

]，故当x=-

π

2

时，函数f（x）=sin（2x-

π

6

）-1取得最小值为-2，
当x=

π

3

时，函数f（x）=sin（2x-

π

6

）-1取得最大值为

3

2

-1．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．