Question

计算下列函数的定积分：
（1）

∫

π 2 0

cos2x

cosx-sinx

dx； 
（2）

∫

2 -4

|x+2|dx．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的余弦公式，得cos2x=cos²x-sin²x，因此将原式化为y=cosx+sinx在[0，

π

2

]上的定积分值，结合积分计算公式，不难算出原式的值；
（2）函数y=|x+2|在区间[-4，-2]上表达式为y=-x-2，在区间[-2，2]上表达式为y=x+2．因此将所求积分转化为y=-x-2在区间[-4，-2]上的积分值，加上y=x+2在区间[-2，2]上的积分值，所得的和即为原式的值．

解答：解：（1）∵cos2x=cos²x-sin²x，
∴

∫

π 2 0

cos2x

cosx-sinx

dx=

∫

π 2 0

cos2x-sin2x

cosx-sinx

dx
=

∫

π 2 0

(cosx+sinx)dx=（sinx-cosx）

|

π 2 0

=（sin

π

2

-cos

π

2

）-（sin0-cos0）=2
（2）

∫

2 -4

|x+2|dx=

∫

-2 -4

(-x-2)dx+

∫

2 -2

(x+2)dx
=（-

1

2

x²-2x）

|

-2 -4

+（

1

2

x²+2x）

|

2 -2

=（2-0）+（6+2）=10

点评：本题通过计算两个积分式的值，考查了二倍角的三角函数、分段函数积分的处理、定积分的计算公式和运算法则等知识，属于基础题．