题目内容

若 f（x）=（ax2+2x+2a-4）ex （a∈R）在R上单调递增，则实数a的取值范围是
a≥2+
5
a≥2+
5
．
分析：由题意可得f′（x）=（ax2+2x+2ax+2a-2）ex≥0在R上恒成立，只需ax2+2x+2ax+2a-2≥0在R上恒成立，a=0不合题意，当a≠0时，需
a＞0
△=(2+2a)2-4a(2a-2)≤0
，解之可得答案．
解答：解：由题意可得f′（x）=（2ax+2）ex+（ax2+2x+2a-4）ex 
=（ax2+2x+2ax+2a-2）ex≥0在R上恒成立，
因为ex＞0，故只需ax2+2x+2ax+2a-2≥0在R上恒成立，
若a=0上式变为2x-2≥0不能恒成立，
当a≠0时，需
a＞0
△=(2+2a)2-4a(2a-2)≤0
，解得a≥2+
5

故实数a的取值范围是a≥2+
5

故答案为：a≥2+
5
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及二次函数的恒成立问题，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知常数a、b满足a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（ax-bx）．
（1）求y=f（x）的定义域；
（2）证明y=f（x）在定义域内是增函数；
（3）若f（x）恰在（1，+∞）内取正值，且f（2）=lg2，求a、b的值．
对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，那么我们称f（x）和g（x）在[a，b]上是接近的．若f（x）=log2（ax+1）与g（x）=log2x在闭区间[1，2]上是接近的，则a的取值范围是
[0，1]
[0，1]
．
定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），且当x≠0时，f（x）≠0．
（Ⅰ）求证：f（0）=0；    
（Ⅱ）证明：f（x）是偶函数，并求f（x）的表达式；
（III） 若f（x）+a＞ax对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，那么我们称f（x）和g（x）在[a，b]上是接近的．若f（x）=log2（ax+1）与g（x）=log2x在闭区间[1，2]上是接近的，则a的取值范围是______．
对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，那么我们称f（x）和g（x）在[a，b]上是接近的．若f（x）=log2（ax+1）与g（x）=log2x在闭区间[1，2]上是接近的，则a的取值范围是    ．

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