题目内容

已知函数 $数学公式$ ，x∈（0，+∞）．
（1）作出函数y=f（x）的大致图象并根据图象写出函数f（x）的单调区间；
（2）设 $数学公式$ ，b＞1，试比较f（a）与f（b）的大小；
（3）是否存在实数a，b（0＜a＜b），使得函数y=f（x）在x∈[a，b]上的值域也是[a，b]．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）图象如图所示．…

单调递减区间：（0，1]；…
单调递增区间：[1，+∞）…
（2）由 $\text{[math]}$ ，b＞1
得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…
于是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …
∴f（a）＞f（b）…
（3）当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，矛盾．
∴a，b∈（0，1）或a，b∈（1，+∞）…
当a，b∈（0，1）时，f（x）是减函数，于是有f（a）=b，f（b）=a，
即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得a=b，舍去．…
当a，b∈（1，+∞）时，由f（x）是增函数知，f（a）=a，f（b）=b，
即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴a，b是方程x²-x+1=0的两根，但方程x²-x+1=0
没有实根．即实数a，b也不存在．…
∴不存在这样的实数a，b（0＜a＜b），使得函数y=f（x）在x∈[a，b]上的值域也是[a，b]．…
分析：（1）函数的图象由y= $\text{[math]}$ （x∈（0，+∞））的图象先做一次关于x轴的对称变换，再向上平移一个单位，再做一次纵向的对折变换得到，由此可得函数y=f（x）的大致图象，进而根据图象下降对应函数的单调递减区间，图象上升对应函数的单调递增区间得到答案
（2）由已知结合函数解析式可得f（a）＞1，f（b）＜1，进而可判断出f（a）与f（b）的大小；
（3）分当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，当a，b∈（0，1）时，和当a，b∈（1，+∞）时，三种情况分别讨论a，b的存在性，最后综合讨论结果可得答案．
点评：本题考查的知识点是函数图象的变换，函数的单调区间，函数值的比较，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．