Question

已知双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．若点P是线段F₁Q的中点，且QF₁⊥QF₂，则此双曲线的离心率等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   

Answer 1

C
分析：双曲线的左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），两条渐近线方程为y=-，y=，由过F₁的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．点P是线段F₁Q的中点，且QF₁⊥QF₂，知PF₁⊥OP，所以过F₁的直线PQ的方程为：y=，解方程组，得P（-，），所以|PF₁|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF₁|=|OF₂|=|OQ|=c，|QF₂|=2a，再由余弦定理，能求出此双曲线的离心率．
解答：解：∵双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，
∴F₁（-c，0），F₂（c，0），双曲线的两条渐近线方程为y=-，y=，
∵过F₁的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．点P是线段F₁Q的中点，且QF₁⊥QF₂，
∴PF₁⊥OP，
∴过F₁的直线PQ的斜率，
∴过F₁的直线PQ的方程为：y=，
解方程组，得P（-，），
∴|PF₁|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF₁|=|OF₂|=|OQ|=c，|QF₂|=2a，
∵tan∠QOF₂=，∴cos∠QOF₂=，
由余弦定理，得cos∠QOF₂==1-=，
∴1-=，即e²-e-2=0，
解得e=2，或e=-1（舍）
故选C．
点评：本题考查双曲线的性质和双曲线与直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的合理运用．