Question

设数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+1（n≥2），且a₁=1，b_n=log₂（a_n+1）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（3）求数列{

1

bnbn+2

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得a_n+1=2（a_n-1+1），数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）可求数列{a_n}的通项公式，根据b_n=log₂（a_n+1），可得{b_n}的通项公式；
（3）利用裂项求和方法即可得到结论．

解答：（1）证明：因为a_n=2a_n-1+1（n≥2），所以a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
所以数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知，a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1
∴b_n=log₂（a_n+1）=n；
（3）解：

1

bnbn+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

．

点评：本题主要考查了等比数列的判断与证明，等比数列的通项公式及裂项求和方法的应用，属于中档题．