Question

如图，多面体ABCDS中，底面ABCD为矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=AD，

（1）求证：平面SDB⊥平面ABCD；

（2）求二面角A―SB―D的大小.

Answer 1

解：（1）∵SD⊥AD，SD⊥AB，AD∩AB=A

∴SD⊥平面ABCD，

又∵SD平面SBD，  ∴平面SDB⊥平面ABCD。 

（2）[解法一]：由（1）知平面SDB⊥平面ABCD，

BD为平面SDB与平面ABCD的交线，过点A作AE⊥DB于E，则AE⊥平面SDB，

又过点A作AF⊥SB于F，连结EF。

由三垂线定理的逆定理得 EF⊥SB，

∴∠AFE为二面角A―SB―D的平面角。 

在矩形ABCD中，设AD=a，

则，

在Rt△SBC中，

而在Rt△SAD中，SA=2a，又AB=2a，

∴SB²=SA²+AB²，

即△SAB为等腰直角三角形，且∠SAB为直角，

∴

∴

故二面角A―SB―D的大小为   

[解法二]：由题可知DS、DA、DC两两互相垂直。

如图建立空间直角坐标系D―xyz

设AD=a，

则S（

∵

设面SBD的一个法向量为n=（x，y，－1）

则

解得 n=（0，2，－1） 

又∵

设面SAB的一个法向量为m=（1，y，z），

则

解出 m=（1，，0）， 

故所求的二面角为arccos。