Question

已知圆的方程（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问：
（1）可以作多少个不同的圆？
（2）经过原点的圆有多少个？
（3）圆心在直线上x+y-10=0的圆有多少个？

Answer 1

分析：（1）可分两步完成：第一步，先选r，因r＞0，可得r的情况，第二步，选a、b，由排列数公式可得其情况数目，进而由分类加法原理计算可得答案；
（2）圆（x-a）²+（y-b）²=r²经过原点，a、b、r满足a²+b²=r²，分析可得满足条件的a、b、r的数目，再考虑a、b的顺序，由分步计数原理，计算可得答案；
（3）圆心在直线x+y-10=0上，即满足a+b=10，则圆心（a，b）有三组：0，10；3，7；4，6；再考虑考虑a、b的顺序与r可选的情况，由分类加法原理计算可得答案．

解答：解：（1）可分两步完成：第一步，先选r，因r＞0，则r有A₈¹种选法，第二步再选a，b，在剩余8个数中任取2个，有A₈²种选法，
所以由分步计数原理可得有A₈¹．A₈²=448个不同的圆，，
（2）圆（x-a）²+（y-b）²=r²经过原点，a、b、r满足a²+b²=r²，
满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a、b的顺序，有A₂²种情况，
所以符合题意的圆有2A₂²=4，
（3）圆心在直线x+y-10=0上，即满足a+b=10，则满足条件的a、b有三组：0，10；3，7；4，6．
当a、b取10、0时，r有7种情况，
当a、b取3、7；4、6时，r不可取0，有6种情况，
考虑a、b的顺序，有A₂²种情况，
所以满足题意的圆共有A₂²．A₇¹+2A₂²A₆¹=38个

点评：本题考查排列、组合的运用，关键是掌握圆的标准方程，如满足满足a²+b²=r²时，圆（x-a）²+（y-b）²=r²经过原点．