Question

（本小题满分12分）

如图，椭圆的顶点为焦点为

 S_□ = 2S_□

（1）求椭圆C的方程；

 (2)设n 为过原点的直线，是与n垂直相交于P点、

与椭圆相交于A,B两点的直线，,

是否存在上述直线使 成立？若存在，

求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(本题满分12分)

解：（1）由知，            ①

由S_□ = 2S_□知，               ②

又，                                ③

由①，②，③解得，

故椭圆C的方程为。----------------------------------4分

（2）设两点的坐标分别为，

假设使,成立的直线存在，

（i）当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交

于点且得，即，

，，

=1+0+0-1=0，

即.

将代入椭圆方程，得，

由求根公式可得，           ④

.                           ⑤

，

将④，⑤代入上式并化简得

，⑥

将代入⑥并化简得，矛盾.

即此时直线不存在.----------------------------------------------8分

（ii）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，

当时，的坐标分别为，

，，

当时，同理可得矛盾.

即此时直线也不存在.------------------------------------------11分

综上可知，使成立的直线不存在.-------------------- 12分