Question

已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为5，从这个圆上任一点p向x轴作垂线PP’，垂足为P’，M为线段PP’上一点，且满足：

MP

=4

PM

（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过电（3，0）且斜率为1的直线交曲线C于A、B两点，求弦AB的长．

Answer 1

分析：（I）设点M（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），由

MP

=4

PM

，可得：x=x_o，y=

4

5

y₀，P（x₀，y₀）在圆x²+y²=25上，所以，x₀²+y₀²=25，由此能求出点M的轨迹C的方程．
（II）设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），由已知得直线方程：y=x-3，

x2 25 + y2 16 =1，(1) y=x-3，(2)

，整理得41x₂-150x-175=0，由韦达定理能导出弦AB的长度．

解答：解：（I）设点M（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），由

MP

=4

PM

，

可得：x=x_o，y=

4

5

y₀，
P（x₀，y₀）在圆x²+y²=25上，所以，x₀²+y₀²=25，
将x_o=x，y₀=

5

4

，y代入方程①，得

x2

25

+

y2

16

=1，
故点M的轨迹C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1，
（II）设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），由已知得直线方程：y=x-3

x2 25 + y2 16 =1，(1) y=x-3，(2)

，
将（2）代入整理得41x₂-150x-175=0
由伟达定理：x1+x2=

150

41

，x1x1=-

175

41

．
所以：|AB|=

(x1-x2) 2+(y2-y1) 2

=

1+k2

(x1+x2) 2-4x1x2

=

320

41

，
故弦AB的长度为

320

41

．

点评：本题考查点M的轨迹C的方程和求弦AB的长．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．