Question

【题目】已知椭圆C的方程是 =1（a＞b＞0），其右焦点F到椭圆C的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以 为公差的等差数列，且该数列的三项之和等于6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AB与椭圆C交于点A，B（A在第一象限），满足2 ，当△0AB面积最大时，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵右焦点F到椭圆C的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以 为公差的等差数列，

∴此三项分别为：a﹣c，a，a+c，且a=a﹣c+ ，

可得：c= ，

又该数列的三项之和等于6，

∴3a=6，解得a=2，

∴b2=a2﹣c2=1．

∴椭圆C的方程为： +y2=1

（2）解：设直线AB的方程为：my=x+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立 ，化为：（4+m2）y2﹣2mty+t2﹣4=0，（*）

△＞0，可得4+m2＞t2．

∴y1+y2= ，y1y2= ．

∵满足2 ，

∴2y1+y2=0．

∴y1= ，y2= ．

∴ = ．

∴8m2t2=（4﹣t2）（4+m2）．

|y1﹣y2|= = ．

∴S△OAB= |t|= ≤2× × =1，当且仅当4+m2=2t2时取等号．

联立8m2t2=（4﹣t2）（4+m2），4+m2=2t2．

解得：t2= ，m2= ．

∴直线AB的方程为： y=x±

【解析】（1）由于右焦点F到椭圆C的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以 为公差的等差数列，可得此三项分别为：a﹣c，a，a+c，且a=a﹣c+ ，
可得：c，又该数列的三项之和等于6，可得3a=6，b2=a2﹣c2 ． 解出即可得出．（2）设直线AB的方程为：my=x+t，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．与椭圆方程联立化为：（4+m2）y2﹣2mty+t2﹣4=0，△＞0，利用根与系数的关系及其2 ，即2y1+y2=0．可得8m2t2=（4﹣t2）（4+m2）．利用S△OAB= |t|= 及其基本不等式的性质可得：4+m2=2t2 ． 联立解出即可得出．