题目内容

已知函数f（x）=kx3-3（k+1）x2-k2+1，若f（x）的单调减区间是（0，4），则在曲线y=f（x）的切线中，斜率最小的切线方程是
12x+y-8=0
12x+y-8=0
．
分析：f（x）的单调减区间是（0，4），即f'（x）＜0的解集为（0，4），从而解出k=1．由此可得f'（x）=3x2-12x在x=2时有最小值为-12，即得斜率的最小值为-12，再求出切点纵坐标并结合直线方程的点斜式列式，可求出斜率最小的切线方程．
解答：解：∵f（x）=kx3-3（k+1）x2-k2+1，∴f'（x）=3kx2-6（k+1）x．
由f'（x）=0解得：x=0或
2k+2
k
，
∵f（x）的单调减区间是（0，4），
∴f'（x）=3kx2-6（k+1）x＜0的解集为（0，4）
因此可得：k＞0且
2k+2
k
=4，解之得k=1
∴f（x）=x3-6x2．可得f'（x）=3x2-12x=3（x-2）2-12
由此可得，当x=2时，f'（x）的最小值为f'（2）=-12
∴切线斜率的最小值为-12，此时的切点坐标为（2，-16）
可得斜率最小的切线方程为y-（-16）=-12（x-2），化简得12x+y-8=0．
故答案为：12x+y-8=0．
点评：本题给出三次多项式函数，给出函数的单调减区间的情况下，求斜率最小的切线方程．着重考查了利用导数研究函数的切点、直线方程的基本形式和二次函数求最值等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．
已知函数f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．
已知函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求实数k，a的值；
（2）若函数g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
（2012•芜湖二模）给出以下五个命题：
①命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（
π
3
，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于-
3

③a=1是直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直的充要条件．
④函数f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量
a
=(1，-2)与向量
b
=(1，m)的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（-∞，
1
2
）
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
（已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．

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