Question

（本小题满分13分）

如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。
（Ⅰ）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）设AB=AA₁。在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于
三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率为P。
（i）                            当点C在圆周上运动时，求P的最大值；
记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为（0°<  90°）。当P取最大值时，求cos的值。

Answer 1

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分13分。


解法一 ：
（I）平面，平面，   
是圆O的直径，
又， 平面
而平面，
所以平面平面。
（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则
故三棱柱的体积

又

当且仅当时等号成立。
从而，
而圆柱的体积，
故，当且仅当
，即时等号成立。
所以，的最大值等于
（ii）由（i）可知，取最大值时，
于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），
则，，
平面，是平面的一个法向量
设平面的法向量，
 
取，得平面的一个法向量为
，

解法二：
（I）同解法一
（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则，
故三棱柱的体积
设，
则，，
由于，当且仅当即时等号成立，故
而圆柱的体积，
故，当且仅当即时等号成立。
所以，的最大值等于
（ii）同解法一
解法三：
（I）同解法一
（II）（i）设圆柱的底面半径，则，故圆柱的体积
因为，所以当取得最大值时，取得最大值。
又因为点C在圆周上运动，所以当时，的面积最大。进而，三棱柱的体积最大，且其最大值为
故的最大值等于
（ii）同解法一

略