题目内容

已知点A（-2，0），B（2，0）直线PA与直线PB斜率之积为- $数学公式$ ，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线c的方程；
（Ⅱ）设M，N是曲线C上任意两点，且| $数学公式$ - $数学公式$ |-| $数学公式$ + $数学公式$ |，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）设P（x，y），则由直线PA与直线PB斜率之积为- $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
整理得曲线C的方程为 $\text{[math]}$ ．----（4分）
（Ⅱ）若| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |，则 $\text{[math]}$ ．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直线MN斜率不存在，则N（x₁，-y₁）．
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴直线MN方程为 $\text{[math]}$ ．
∴原点O到直线MN的距离d= $\text{[math]}$ ．----（6分）
若直线MN斜率存在，设方程为y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ．（*）----（8分）
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，整理得（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．
（*）式代入：（k²+1）× $\text{[math]}$ +km× $\text{[math]}$ +m²=0
解得7m²=12（k²+1）．----（10分）
此时原点O到直线MN的距离d= $\text{[math]}$ ．
故原点O到直线MN的距离恒为d= $\text{[math]}$ ．
∴存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为 $\text{[math]}$ ．----（12分）
分析：（Ⅰ）设P（x，y），则由直线PA与直线PB斜率之积为- $\text{[math]}$ ，建立等式，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）若| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |，则 $\text{[math]}$ ．分斜率存在与不存在，结合椭圆的方程，利用韦达定理，可得原点O到直线MN的距离恒为d= $\text{[math]}$ ，从而存在以原点为圆心且与MN总相切的圆．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．