Question

已知等式sin²30°+sin²30°+sin²30°•sin²30°=

3

4

，sin²40°+sin²20°+sin²40°•sin²20°=

3

4

（1）观察上述式子的特点，归纳出一般的结论；
（2）证明归纳出的结论．

Answer 1

（1）观察等式：
sin²30°+sin²30°+sin30°•sin30°=

3

4

，sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°=

3

4

，…，
照此规律，可以得到的一般结果应该是
sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）=

3

4

，
（2）sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）
=sin²α+（sin60°cosα-cos60°sinα）²+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）
=sin²α+

3

4

cos²α+

1

4

sin²α-

3

2

sinαcosα+

3

2

sinαcosα-

1

2

sin²α
=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

．得证．