Question

设关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)=

2x-m

x2+1

    
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判断f（x）在区间（α，β）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α、β，利用韦达定理可求f（α）、f（β）的值，从而可求αf（α）+βf（β）；
（Ⅱ）求导函数，利用关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α、β，可得导数的符号，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：∵关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α、β，∴

α+β=m αβ=-1

．
∴f(α)=

2α-m

α2+1

=

2α-(α+β)

α2-αβ

=

α-β

α2-αβ

=

1

α

，
同理f(β)=

1

β

，
∴αf（α）+βf（β）=2．
（Ⅱ）f（x）在（α，β）上为增函数
∵f(x)=

2x-m

x2+1

，
∴f′(x)=

2(x2-mx-1)

(x2+1)2

，
当x∈（α，β）时，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0，
从而f′（x）＜0，
∴f（x）在（α，β）上为减函数．

点评：本题考查函数与方程的联系，考查函数的单调性，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．