Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O。椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
 （1）求圆C的方程；
 （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设圆C的圆心为A（p，q），则圆C的方程为（x-p）²+（y-q）²=8
∵直线y=x与圆C相切于坐标原点O，
∴O在圆C上，且直线OA垂直于直线y=x
于是有
由于点A（p，q）在第二象限，故p<0
所以圆C的方程为（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）∵椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10
∴2a=10a=5
故椭圆右焦点为F（4，0）
若圆C上存在异于原点的点Q（x₀，y₀）到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，
则有|QF|=|OF|，于是
由于Q（x₀，y₀）在圆上，故有
解①和②得
故圆C上存在满足条件的点。