题目内容

当为正整数时，区间，表示函数在上函数值取整数值的个数，当时，记．当，表示把“四舍五入”到个位的近似值，如当为正整数时，表示满足的正整数的个数．

(1)判断在区间的单调性;

(2)求;

(3)当为正整数时，集合中所有元素之和为，记求证：

（1）当为增函数（2）（3）见解析


解析:

（1）∵

∴当为增函数.----------------------2分

(2)由(1) 在为增函数,又

 ∴--------------------------------------------------3分

  同理时，为增函数，

  ∴-----------------------4分

         ∴-----------------------------------------5分

 又∵表示满足的正整数的个数．

         ∴    

         ∴

         ∴-----------------------------------------------6分

(3)又∵表示满足的正整数的个数，

         ∴--------------------------------8分

         ∴

         ∴共个． 

         ∴------------------------------------------10分

         ∴

 =

 ----------------------------------------12分

∴

----------------14分

练习册系列答案
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规定Cmx=
x(x-1)…(x-m+1)
m！
，其中x∈R，m是正整数，且C0x=1，这是组合数Cmn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C3-15的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，
C
3
x
(C
1
x
)2
取得最小值？
（3）组合数的两个性质；
①Cmn=Cn-mm． ②Cmn+Cm-1n=Cmn+1．
是否都能推广到Cmx（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
变式：规定Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且Ax0=1，这是排列数Anm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求A-153的值；
（2）排列数的两个性质：①Anm=nAn-1m-1，②Anm+mAnm-1=An+1m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到Axm（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数Ax3的单调区间．

当n为正整数时，区间In＝(n，n＋1)，an表示函数在In上函数值取整数值的个数，当n＞1时，记bn＝an－an－1．当x＞0，g(x)表示把x“四舍五入”到个位的近似值，如当n为正整数时，cn表示满足的正整数k的个数．

(Ⅰ)求b2，c2；

(Ⅱ)求证：n＞1时，bn＝cn；

(Ⅲ)当n为正整数时，集合中所有元素之和为Sn，记Tn＝(2n＋2－n)Sn，求证：T1＋T2＋T3＋…Tn＜3．

已知函数(>0)，过点P(1，0)作曲线的两条切线PM、PN，为M、N．

(1)当t=2时，求函数的单调递增区间；

(2)设|MN|=g(t)，求函数g(t)的表达式；

(3)在(2)的条件下，若对任意正整数，在区间[2，+]内总存在+1个实数、、…、、，使得不等式g()+g()+…+g()<g()成立，求的最大值．
规定Cmx=，其中x∈R，m是正整数，且Cx=1，这是组合数Cmn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C3-15的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质；
①Cmn=Cn-mm． ②Cmn+Cm-1n=Cmn+1．
是否都能推广到Cmx（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
变式：规定Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且Ax=1，这是排列数Anm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求A-153的值；
（2）排列数的两个性质：①Anm=nAn-1m-1，②Anm+mAnm-1=An+1m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到Axm（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数Ax3的单调区间．

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