Question

已知数列{a_n}满足Sn=

1

3

an-1，那么

lim

n→∞

(a2+a4+…+a2n)的值为

1

．

Answer 1

分析：由递推公式a_n=S_n-S_n-1（n≥2），统一形式，消掉S_n，得到a_n的通项公式，根据等比数列的性质求和，然后可求极限

解答：解：∵Sn=

1

3

an-1…①
当n=1时，S1=

1

3

a1-1，则a1=-

3

2

；
当n≥2时，Sn-1=

1

3

an-1-1…②，
①-②得：Sn- Sn-1=

1

3

an-

1

3

an-1即an =

1

3

an- 

1

3

an-1
∴an =-

1

2

an-1
∴数列{a_n}是等比数列，首项a1=-

3

2

，公比q=-

1

2

∴数列{a_2n}也是等比数列，首项a2=

3

4

，公比q′=q2=

1

4

∴T_n=a₂+a₄+…+a_2n=

3 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=1-

1

4n

∴

lim

n→∞

(a2+a4+…+a2n)=

lim

n→∞

(1-

1

4n

)=1
故答案为：1

点评：本题主要考查了利用利用S_n与a_n的递推式，根据题目求解的特点，消掉一个S_n或a_n，然后再构造等差或等比数列求解，要注意公式a_n=S_n-S_n-1成立的条件n≥2．