Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)，则f（1）+f（2）+…+f（2009）=（　　）

• A、2009
• B、1
• C、0
• D、-1

Answer 1

分析：首先利用f（x）是R上的奇函数与f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)得出f（0）=f（1）=0，
然后求出f（x）是以2为周期的函数，则问题解决．

解答：解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
又f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)，所以f（1）=f（0）=0，且f[

1

2

+ (

1

2

+x)]=f[

1

2

-(

1

2

+x)]，
则f（x+1）=f（-x）=-f（x），
所以f（x+2）=-f（x+1），即f（x+1）=-f（x+2），
所以f（x+2）=f（x），即f（x）是以2为周期的函数，
因此f（1）=f（2）=f（3）=…=f（2009）=0，
所以f（1）+f（2）+…+f（2009）=0，
故选C．

点评：本题综合考查函数的奇偶性与周期性．