Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=

1

2

PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证OD∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线OD与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）要证OD∥平面PAB，只需证明平面PAB内直线PA与OD平行，就是OD∥PA，即可证明OD∥平面PAB；
（Ⅱ）首先利用三垂线定理作出直线OD与平面PBC所成角，
就是取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，得到
OF⊥平面PBC，然后解三角形求出角即可；
法二：距离空间直角坐标系，利用共线向量证明（Ⅰ）；利用向量的数量积求解（Ⅱ）．

解答：解：方法一：
（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC中点，
∴OD∥PA又PA?平面PAB
∴OD∥平面PAB
（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC．取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．在Rt△ODF中，sin∠ODF=

OF

OD

=

210

30

，
∴OD与平面PBC所成的角为arcsin

210

30

．

方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），设AB=a，则A(

2

2

a，0，0)，B(0，

2

2

a，0)，C(-

2

2

a，0，0)
设OP=h，则P（0，0，h）．
（Ⅰ）∵D为PC的中点，
∴

OD

=(-

2

4

a，0，

1

2

h)，又

PA

=(

2

2

a，0，-h)，
∴

OD

=-

1

2

PA

．∴

OD

∥

PA

．∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵PA=2a∴h=

7 2

a，
∴

OD

=(-

2

4

a，0，

14

4

a)，可求得平面PBC的法向量

n

=(-1，1，

1 7

)，
∴cos?

OD

，

n

＞=

OD • n

| OD |•| n |

=

210

30

．
设OD与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=|cos?

OD

，

n

＞|=

210

30

，
∴OD与平面PBC所成的角为arcsin

210

30

点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．