Question

13．如题图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF₁
（Ⅰ）若|PF₁|=2+$\sqrt{2}，|{P{F_2}}$|=2-$\sqrt{2}$，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|PF₁|=|PQ|，求椭圆的离心率e．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF₁|+|PF₂|，求出a，再根据2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，求出c，进而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF₁|=$\sqrt{2}$|PF₁|=4a-2|PF₁|，解得|PF₁|=2（2-$\sqrt{2}$）a，从而|PF₂|=2a-|PF₁|=2（$\sqrt{2}$-1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF₁|+|PF₂|=2+$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{2}$=4，故a=2，
设椭圆的半焦距为c，由已知PF₂⊥PF₁，因此2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$，从而b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
故所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）连接F₁Q，由椭圆的定义，|PF₁|+|PF₂|=2a，|QF₁|+|QF₂|=2a，
从而由|PF₁|=|PQ|=|PF₂|+|QF₂|，
有|QF₁|=4a-2|PF₁|，
又由PQ⊥PF₁，|PF₁|=|PQ|，知|QF₁|=$\sqrt{2}$|PF₁|=4a-2|PF₁|，解得|PF₁|=2（2-$\sqrt{2}$）a，从而|PF₂|=2a-|PF₁|=2（$\sqrt{2}$-1）a，
由PF₂⊥PF₁，知2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$，因此e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}}{2a}$=$\sqrt{（2-\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{9-6\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义2a=|PF₁|+|PF₂|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题．