Question

对函数f（x）=

sinx    sinx≥cosx cosx    sinx＜cosx

有下列命题：
①f（x）的值域为[-1，1]；
②当且仅当x=2kл+

π

2

，k∈Z时，该函数取最大值1；
③f（x）是以л为最小正周期的函数； 
④当且仅当2kл+л＜x＜2kл+

3π

2

，k∈Z时，f（x）＜0．
其中正确的是（　　）

A．①②

B．②③

C．③

D．④

Answer 1

分析：由题意可得：函数 f(x)=

sinx，[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] cosx，[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，再根据周期函数的定义结合其图象可得函数的周期等性质即可．

解答：解：由题意可得：函数 f(x)=

sinx当sinx≥cosx时 cosx当sinx＜cosx时

，即 f(x)=

sinx，[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] cosx，[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，作出其图象如图，从图象上可以看出：
①sinx≥cosx，∴

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ
∵sinx＜cosx，∴-

3π

4

+2kπ＜x＜

π

4

+2kπ
∴f（x）=

sinx   [ π 4 +2kπ 5π 4 +2kπ] cosx  (- 3π 4 +2kπ π 4 +2kπ)

，∴f（x）的值域为[-

2

2

，1]
②当x=

π

2

+2kπ或x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值为1．
∵f（x+π）=

-sinx -cosx

≠f（x）
③∴f（x）不是以π为最小正周期的周期函数，
④当f（x）＜0时，2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）
综上所述，正确的④，
故选D．

点评：本提主要考查了正弦函数及余弦函数图象的应用，利用定义先找出函数的图象，结合图象及三角函数的图象来判断函数的性质，体现了数形结合的思想．