Question

自直线y=x上点向圆x²+y²-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为

 

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准式后，找出圆心坐标和圆的半径，利用图形可知，当圆心A与直线y=x垂直时，过垂足作圆的切线，切线长最短，连接AB，根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形ABC为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离即为|AC|的长，然后根据半径和|AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长．

解答：解：过圆心A作AC⊥直线y=x，垂足为C，
过C作圆A的切线，切点为B，连接AB，
所以AB⊥BC，此时的切线长CB最短．
把圆的方程化为标准式方程得（x-3）²+y²=2，
所以圆心A（3，0），半径为

2

，
圆心A到直线y=x的距离AC=

|3|

1+1

=

3 2

2

，
根据勾股定理得CB=

( 3 2 2 )2-( 2 )2

=

10

2

故答案为：

10

2

点评：此题考查学生学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握圆的切线垂直于过切点的直径这个性质，是一道中档题．此题的关键是找出切线长最短时的条件，根据题意画出相应的图形．