Question

设命题p：方程

x2

1-2m

+

y2

m+4

=1表示的图象是双曲线；命题q：?x∈R，3x²+2mx+（m+6）＜0．求使“p且q”为真命题时，实数m的取值范围．

Answer 1

分析：根据复合命题真假的判断，可得命题p和命题q都是真命题．再根据双曲线方程的形式和二次函数的图象与性质，分别解出命题p为真和命题q为真时m的取值范围，最后取交集即可得到本题答案．

解答：解：∵“p且q”为真命题，
∴命题p和命题q都是真命题
∵命题p：方程

x2

1-2m

+

y2

m+4

=1表示的图象是双曲线，p是真命题
∴（1-2m）（m+4）＜0，解之得m＜-4或m＞

1

2

又∵命题q：?x∈R，3x²+2mx+（m+6）＜0，q是真命题
∴△=4m²-12（m+6）＞0，解之得m＜-3或m＞6
因此，使“p且q”为真命题时的m的取值范围为（-∞，-4）∪（6，+∞）．

点评：本题以命题真假的判断为载体，求实数m的取值范围，着重考查了双曲线的标准方程和二次函数的图象与性质等知识点，属于基础题．