Question

如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D．?
（Ⅰ）求∠ADF的度数；?
（Ⅱ）若AB=AC，求

AC

BC

的值．????????

Answer 1

分析：（1）由AC为圆O的切线，可得∠B=∠EAC，结合CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠DCB，可证∠ADF=∠AFD，由已知可得∠BAE=90°，而由∠ADF=

1

2

（180°-∠BAE）可求
（2）容易证明△ACE∽△BCA，且有∠B=∠ACB，从而可得∠B=∠ACB=∠EAC，由∠BAE=90°及三角形内角和知，∠B=30°，在Rt△ABE中，可求

解答：解 （1）∵AC为圆O的切线，
∴∠B=∠EAC，
又CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，
即∠ADF=∠AFD．
又∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°，
∴∠ADF=

1

2

（180°-∠BAE）=45°
（2）∵∠B=∠EAC，∠ACE=∠BCA，
∴△ACE∽△BCA
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ACB=∠EAC，
由∠BAE=90°及三角形内角和知，∠B=30°，
∴在Rt△ABE中，

AC

BC

=

AE

BA

=tan∠B=tan30°=

3

3

点评：本题主要考查了圆的切线的性质的应用圆周角定理、弦切角定理等知识的综合的应用，解答的关键是熟练应用圆中的相关定理，结论．