题目内容
在平面直角坐标系xOy中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量
，对于任意P∈Ω，均有Q∈Ω，使得
=
+
，则称
为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：
①若平面点集Ω存在向量周期
，则k
（k∈Z，k≠0）也是Ω的向量周期；
②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；
③若平面点集Ω={（x，y）|x＞0，y＞0}，则
=（-1，2）为Ω的一个向量周期；
④若平面点集Ω={（x，y）|y=|sinx|-|cosx|}，则
=（
，0）为Ω的一个向量周期．
其中正确的命题个数是（ ）
| a |
| OQ |
| OP |
| a |
| a |
①若平面点集Ω存在向量周期
| a |
| a |
②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；
③若平面点集Ω={（x，y）|x＞0，y＞0}，则
| b |
④若平面点集Ω={（x，y）|y=|sinx|-|cosx|}，则
| c |
| π |
| 2 |
其中正确的命题个数是（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
分析：利用向量周期的意义和向量共线定理即可得出．
解答：解：由向量周期的意义可知：存在非零平面向量
，对于任意P∈Ω（Ω为平面内的一个点集），均有Q∈Ω，使得
=
+
，即
=
，称
为平面点集Ω的一个向量周期．
①∵平面点集Ω存在向量周期
，∴对于任意P∈Ω，均有Q∈Ω，使得
=
+
，∴k
=k
+k
（k≠0），因此k
为平面点集Ω的一个向量周期，因此正确．
②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期，利用①由反证法即可得出；
③若平面点集Ω={（x，y）|x＞0，y＞0}，假设对于任意P（x1，y1）∈Ω，均有Q（x2，y2）∈Ω，（xi，yi＞0，i=1，2），使得
=
=(-1，2)，则
，解得
则x2=x1-1＞0，∴x1＞1，不满足?x1＞0的条件，因此不正确；
④由平面点集Ω={（x，y）|y=|sinx|-|cosx|}，可知：x∈R，y2=1-|sin2x|，∴y∈[-1，1]．
?P（x，y）∈Ω，则
+
=(x+
，y)，y=|sin(x+
)|-|cosx|=|cosx|-|cosx|=0∈Ω，
∴
=（
，0）为Ω的一个向量周期．故正确．
综上可知：只有①②④正确．
故选：C．
| a |
| OQ |
| OP |
| a |
| PQ |
| a |
| a |
①∵平面点集Ω存在向量周期
| a |
| OQ |
| OP |
| a |
| OQ |
| OP |
| a |
| a |
②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期，利用①由反证法即可得出；
③若平面点集Ω={（x，y）|x＞0，y＞0}，假设对于任意P（x1，y1）∈Ω，均有Q（x2，y2）∈Ω，（xi，yi＞0，i=1，2），使得
| PQ |
| b |
|
|
则x2=x1-1＞0，∴x1＞1，不满足?x1＞0的条件，因此不正确；
④由平面点集Ω={（x，y）|y=|sinx|-|cosx|}，可知：x∈R，y2=1-|sin2x|，∴y∈[-1，1]．
?P（x，y）∈Ω，则
| OP |
| c |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴
| c |
| π |
| 2 |
综上可知：只有①②④正确．
故选：C．
点评：本题考查了新定义、向量周期、向量的运算及其共线定理，考查了推理能力和解决实际问题的能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是