Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；

（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，其定义域是 ∴                       

 令，即，解得或． ，∴  舍去．  

当时，；当时，．

∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

 ∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．

当时，，即． ∴ 函数只有一个零点．             

（Ⅱ）显然函数的定义域为

∴   

当时，在区间上为增函数，不合题意

 当时，等价于，即

此时的单调递减区间为．依题意，得解之得．            

 当时，等价于，即

此时的单调递减区间为，∴     得

综上，实数的取值范围是           

法二：

①当时，在区间上为增函数，不合题意…

②当时，要使函数在区间上是减函数，只需在区间上恒成立，只要恒成立，

解得或    综上，实数的取值范围是